[es] - Jedan zadatak sa olimpijade

Metalnem
Lotimer Pikls

Član broj: 6757
Poruke: 184

Profil

^{24.02.2005. u 15:53 - pre 244 meseci}

Da li neko zna da uradi ovaj zadatak:

Ako su a, b i c pozitivni realni brojevi i abc=1, dokazati da vazi sledeca nejednakost:

≥

Zadatak sam procitao u casopisu Tangenta i bio je na nekoj olimpijadi ili tako nesto slicno.

Odgovor na temu

Srđan Krstić
Srđan Krstić
Princeton, NJ

Član broj: 7526
Poruke: 416
*.rcub.bg.ac.yu.

Jabber: srkiboy@elitesecurity.org
ICQ: 193836365
Sajt: www.princeton.edu/~skrsti..

Profil

Re: Jedan zadatak sa olimpijade

^{24.02.2005. u 18:48 - pre 244 meseci}

Bio je na nekom bas starom shortlistu, mozda cak i izabran za IMO, toga se vec ne secam. Sad nesto nemam vremena, ali cini mi se da moze da prodje Muirhead kad se izmnozi. Naravno, ima i neko bas lepo resenje, ali Muirhead je zakon ;). Aj cu probam malo kasnije da odradim pa cu da se javim.

I HAD A NIGHTMARE
IT ALL STARTED NORMAL
10101010
10110011
THEN ALL OF A SUDDEN
1100102
GAAAAH
_____________________________
www.princeton.edu/~skrstic
www.niwifi.co.sr

Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.dialup.neobee.net.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+621 Profil

Re: Jedan zadatak sa olimpijade

^{24.02.2005. u 19:43 - pre 244 meseci}

Verovatno postoji i neko rešenje u kojem se koristi manje snažan aparat (ovo što ćeš sad videti ti dođe otprilike kao gađanje muve topovskim đuletom) ali zašto ne koristiti ono što nam matematika pruža, pogotovo ako na prvi pogled znaš da ova metoda ne može da omane kod sličnih zadataka. Da ne dužim priču, rešenje ide ovako:

Neka je

. Očigledno je da važi

. Na osnovu Mjurhedove nejednakosti (imaš negde na ES-u temu o njoj, ako ti nešto oko same nejednakosti ne bude jasno zamolio bih te da pitaš na toj temi a ne ovde, da ne bi došlo do mešanja diskusija) imamo:

(da ne objašnjavam sad šta predstavljaju ove uglaste zagrade, shvatićeš to kad naučiš Mjurhedovu teoremu).
Razlaganjem ovoga dobijamo:

Sad koristimo činjenicu da je

i ovo svodimo na sledeće:

Jednostavno vratimo početna slova i dobijamo:

Faktorizacijom ovih izraza dobijamo sledeće (usput možemo desnu stranu pomnožiti sa

I za kraj, podelimo sve sa

, što nas vodi do

što je i trebalo dokazati.

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

Metalnem
Lotimer Pikls

Član broj: 6757
Poruke: 184

Profil

Re: Jedan zadatak sa olimpijade

^{26.02.2005. u 11:09 - pre 244 meseci}

Nasao sam jos jedan nacin. Neka je

. Zamenom u levu stranu polazne nejednakosti dobijamo

(koristili smo to da je xyz takodje 1). Za ovaj izraz treba dokazati da je veci od

. Preko Kosijeve nejednakosti dobijamo da je

≥

to jest,

≥

. Primenjujuci to na

dobijamo

≥

. Primenjujuci nejednakost aritmeticke i gometrijske sredine dobijamo da je

vece ili jednako od

cime je dokaz zavrsen.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8703
*.dial.InfoSky.Net.

+2801 Profil

Re: Teorija relativnosti - pod lupom, (alternativno tumacenje)

^{26.02.2005. u 18:16 - pre 244 meseci}

Sram te bilo, ne samo da si našao elementarniji dokaz tražene nejednakosti, nego si je čak i uopštio na proizvoljan broj sabiraka. Štaviše, ako se izbaci poslednji korak sa primenom AG nejednakosti, uz neznatne prepravke se dobija strožija nejednakost. SVAKA ČAST! Inače, za sve ljubitelje ovakve problematike imam ovaj dobar link

http://my.netian.com/~ideahitme/eng.html

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu